π sonini cheksiz qator yig‘indisi sifatida ifodalanishi

Cheksiz qator yig‘indisi cheksiz sonlar to‘plamining yig‘indisidan iborat bo‘ladi. Bu qatorlar matematikada muhim ahamiyatga ega. 1+2+3+... ko‘rinishidagi qatorlarda, qator uzoqlashuvchi ekani aytiladi. Ifoda almashinuvchi qatorlarda esa har bir ikkinchi hadning ishorasi manfiy bo‘ladi. Shundayin, ifoda almashinuvchi qatorlardan keltiriladigan bir misol, mana bir necha asrdan buyon matematiklarning diqqatini o‘ziga jalb qilib kelmoqda.

Yunoncha π harfi bilan ifodalanadigan «pi» soni, aylana uzunligining uning diametriga nisbatini ifodalaydi. Uni ko‘rinishidagi oddiy formula orqali ifodalash mumkin. Shuningdek, trigonometriyadagi arktangens funksiyasini ham formulasi bilan ifodalash mumkin. Agar bu formulada arktangens uchun x=1 qiymatni qo‘ysak, unda, natijada cheksiz qatorga ega bo‘lamiz va uning yig‘indisi π/4 ga teng bo‘ladi.

π sonini cheksiz qator yig‘indisi tarzida ifodalaydigan formulani deyarli bir zamonda, bir necha olim tomonidan mustaqil keltirib chiqarilgan bo‘lib, ular orasida masalan, nemis matematigi Vilgelm Gotfrid Leybnits (1646-176), hamda, Shotlandiyalik matematik va astronom Jeyms Gregori (1638-1675) ham bor. Shuningdek, ismi-sharifi aniq ko‘rsatilmagan va yashagan yillari ham noma’lum bo‘lgan Hindistonlik yana bir muallifning asarida xuddi shu formula keltirib o‘tiladi. O‘sha hind matematigi XIV-XV asrlarda yashab o‘tgani ma’lum xolos va oxirgi tekshirishlarga ko‘ra, fan tarixchilari uning 1444-1544 yillarda yashab o‘tgan Nilakantxa Somayaji ekaniga dalillar topishgan. Nima bo‘lganda ham, π sonini cheksiz qator yig‘indisi sifatida tasavvur qilish bilan bog‘liq ilk yozma asar aynan unga tegishli bo‘lib, bu boradagi Leybnitsning ilmiy ishlari faqatgina 1673-yilga kelib e’lon qilingan bo‘lsa, Gregori esa undan sal avvalroq, ya'ni, 1671-yilda mazkur formulani keltirib chiqargan. Biroq, shunga qaramay, o‘sha paytlarda ko‘pchilik matematiklar, xususan, hatto Isaak Nyuton va Xristian Gyuygens kabi yirik olimlar ham birinchi navbatda Leybnitsning ishlarini hurmat bilan tan olishgan. Masalan, Nyuton bu haqida «bu formulada Leybnits dahosi yuzaga chiqqan» - degan edi. Gyuygens esa, Leybnitsga, -aylananing mazkur ajoyib xossasi matematiklar orasida abadiy mashhur bo‘ladi - deb aytgan. Nima bo‘lganda ham, aynan bir formulani turli vaqt va madaniyatlarda yashagan bir necha olim tomonidan bir-biridan bexabar, mustaqil tarzda ochilishi, matematika fanining ilm-fan uchun universial til va qurol ekaniga yaqqol dalildir. Buni faqatgina Leybnitsning buyuk muvaffaqiyati deb qarash to‘g‘ri bo‘lmaydi. Masalan, arktangens uchun formulani Gregori Leybnitsdan ancha avval keltirib chiqargan. Faqat u arktangens π/4 ga teng bo‘ladigan xususiy holatga e’tibor qaratmagan. Biroq, Somoyaji ushbu formulani Grgoridan ham deyarli 150 yil avval, aniqrog‘i, 1500-yilda yozib tugatilgan «Tantrasamgraxa» kitobida keltirgan edi. U shuningdek mazkur asarida, π sonini chekli sondagi ratsional kasrlar yig‘indisi orqali ifodalab bo‘lmasligini ham bayon qilib, isbotlab o‘tgan.

Bizni ijtimoiy tarmoqlarda ham kuzatib boring:

Feysbukda: https://www.facebook.com/Orbita.Uz/