Gilbert maslalari.
o‘tkir matematiklar uchun murakkab muammolar.

Olmon matematigi David Gilbert tomonidan 1900-yilda e'lon qilingan 23 ta murakkab matematik masaladan iborat ro‘yxat, XX-asr matematiklarining bir necha avlodi uchun ilmiy faoliyatdagi eng oliy maqsad o‘laroq gavdalangandi.

1900-yilning 8-avgust sanasida Butunjahon matematiklarining II-xalqaro kongressida olmon matematik olimi David Gilbert (1862-1943) «Matematika muammolari» deb nomlanuvchi tarixiy ma'ruzasini o‘qib eshittirdi. Mazkur ma'ruzada 23 ta murakkab matematika masalalar ro‘yxat tariqasida beyon qilingan bo‘lib, ma'ruzachining ta'rifiga ko‘ra, matematika fanining keyingi taraqqiyoti ko‘p jihatdan ushbu masalalarning yechilishi bilan uzviy bog‘liq bo‘lishi taxmin qilingan. Gilbert haq bo‘lib chiqdi. U o‘sha kongressda bayon qilgan ro‘yxatdagi murakkab matematik masalalarning yechimiga keyingi bir necha avlod matematiklar uchun eng oliy ilmiy maqsadga aylandi. Hozirda Gilbert masalalarining aksariyati o‘z yechimini topgan, lekin ular ichida hanuz olimlarga tinchlik bermayotganlari ham bor.

Gilbertning o‘sha mashhur ma'ruzasidan uch yilcha avvalroq boshqa bir nufuzli olim Anri Puankare (1854-1912) Syurix kongressi uchun shunga o‘xshash ma'ruza tayyorlagandi. o‘z ma'ruzasida Puankare matematik analiz va matematik fizika orasidagi o‘zaro uzviylik masalalariga e'tibor qaratgan bo‘lib, ularning hal etilishi ya'ni, isbotlanishi matematika va fizikaning keyingi rivoji uchun ulkan qadam bo‘lishini ta'kidlagan.

Parij kongressi uchun Gilbertga shunga o‘xshash ma'ruza qilish taklifi bilan chiqishganida, olim bu fikrni Puankarega nisbatan behurmatlik bo‘lishini aytib rad etgan edi. Lekin, Gilbertning do‘sti va salohiyatda undan kam bo‘lmagan boshqa bir matematik olim German Minkovskiy, uni bu borada umuman boshqacha yo‘l tutish mumkinligiga ishontirdi. Uning maslahatiga ko‘ra, Gilbert o‘z ma'ruzasida o‘sha davrning eng murakkab masalalari sifatida qaralayotgan, hamda, yaqin kelajak matematiklari hal etishi (isbotlashi) lozim deb qaralgan muammolarni o‘rtaga tashlashi kerak edi. Shunday qilib, Minkovskiyning maslahati bilan, Gilbert mana yaqin 100 yildan ziyod vaqtdan buyon dunyo matematiklarini aqlini shoshirib kelayotgan 23 ta muhim va murakkab matematik masalalar ro‘yxatini e'lon qildi.

David Gilbert (chapda) va German Minkovskiy (o'ngda) - XX asrning eng buyuk matematiklari sirasiga kirishgan

Gilbert o‘z maruzasida matematikaning keyingi taraqqiyoti uchun eng muhim deb hisoblagan bo‘limlariga katta e'tibor qaratgan. Masalalarni saralashda eng birinchi mezon, qo‘yilgan muammoning murkkabligi professional matematiklarning diqqatini torta oladigan darajada yetarlicha qiyin bo‘lishi, shu bilan birga u albatta yechimga ega bo‘lishi lozim edi. Shuningdek ikkinchidan, Gilbert iddaosiga ko‘ra, mazkur masalalarning bayoni, ya'ni, sharti «birinchi duch kelgan odamga ham tushuntirsa bo‘ladigan darajada ravon bo‘lishi» kerak edi.

Gilbertning birinchi muddaosi o‘zi istaganidek amalga oshdi. Ikkinchisi esa faqat rasmiy bir mulohaza o‘laroq qolib ketdi. Zero nafaqat Gilbertning o‘sha mushkul matematik muammolarini, balki, o‘rtacha murakkablikdagi har qanday matematik masalani ham, birinchi duch kelganga tushuntirsa bo‘ladigan sodda va ravon bayon qila bilish uchun, o‘sha birinchi duch keluvchini Gyottingen yoki, Prinston kabi oliy matematika institutlari yo‘laklarida poylash kerak

Ma'ruzaning o‘zida vaqt tig‘izligi sababli Gilbert faqat 10 ta masala bayoniga to‘xtalgan xolos. Lekin u yuqorida ham aytilganidek, aslida 23 ta muammodan iborat bo‘lgan. Ushbu muammolarni shartli ravishda to‘rtta kichik guruhlarga ajratish mumkin. Birinchi guruhga matematika asoslariga taaluqli bo‘lgan masalalar tegishl bo‘lib, 1-6 masalalarni o‘z ichiga oladi. ikkinchi guruh 7-12 raqamli masalalardan iborat bo‘lib, sonlar nazariyasiga taaluqli masalalardan iborat bo‘lgan. 13-17 raqamli masalalarni o‘z ichiga olgan uchinchi guruhda, Gilbertning ta'biri bilan aytganda sof matematika'ga taaluqli bo‘lgan, ya'ni, algebra va funksiyalar nazariyasini qamrab oluvchi muammolar bayon etilgan. 19-23 raqamli masalalardan iborat to‘rtinchi guruhda esa mohiyatan matematik analizga tegishli muammolar o‘rtaga tashlangan. Ular bilan quyidagi jadvalda tanishishingiz mumkin.

Adolat yuzasidan aytish joizki, ushbu masalalarning aksariyati mohiyatan faqat matematik masalagina bo‘lib qolmay, balki, butun boshli yangi bir nazariyani shakllantiruvchi gipotezalarning markaziy muammosi sanaladi. Ularning aksariyatining yechishga bo‘lgan urinishlar, keyinchalik katta ilmiy gipotezalarga aylanib ketgan va butun boshla matematika olaida yangi yo‘nalishlar ochilishiga sabab bo‘lgan. Bu jihatdan ham Gilbert matematiklar oldiga qo‘ygan maqsadga erishildi desak mubolag‘a bo‘lmaydi. Vaqt o‘tishi bilan, Gilbert ro‘yxatidagi 6-, 8- va 12-raqamli masalalardan tashqari qolgan barcha 20 ta masala o‘z yechimi yoki, isbotini topdi.

Gilbert masalalarining shartini bayon qilishda ba'zi xilma-xilliklar mavjud. Buning sababi esa, so‘nggi yillarda matematika fanining taraqqiyoti aql bovar qilmas darajada keskin ilg‘orlikka erishgani bilan izohlanadi. Bu haqida Gilbert orzu ham qilmagan bo‘lsa kerak. Jadvalda ham ko‘rganingizdek, uning masalalari ilmiy va texnik atamalar bilan liq to‘la bo‘lgan o‘ta murakkab matematika masalalardan iborat bo‘lgan. Jadvalda, allaqachon yechilgan va hamon o‘z yechimini kutayotgan masalalar alohida rang bilan ajratib ko‘rsatilgan. Keling ulardan ayrimlarining tafsilotlariga qisqacha to‘xtalib o‘tsak:

Kantorning kontinuum-gipotezasining isboti.

Ro‘yxatdagi birinchi masala Kantorning kontinuum gipotezasi bilan bog‘liq bo‘lib, unda to‘plamlarning elementlari miqdori haqida so‘z boradi. Masalan {a,b,c,d} to‘plam 4 ta elementga ega bo‘lib, uning quvvati 4 ga teng deb olinadi. To‘plam quvvati tushunchasi, gap cheksiz miqdordagi elementlar soniga ega bo‘lgan to‘plamlar haqida so‘z borganda alohida ahamiyat kasb eta boshlaydi. Masalan, natural sonlardan iborat bo‘lgan to‘plamning quvvati, juft sonlar to‘plamining quvvati P ga teng. Ushbu tasdiqni isbotlash uchun, to‘plamlar orasida o‘zaro bir ma’noli muvofiqlikni o‘rnatish kerak. Har bir natural son uchun, shu songa mos ravishda ikkiga ko‘paytirilgan qiymatni berib chiqsak: 1→2, 2→4, 3→6... ga ega bo‘lamiz.

Shunday qilib, qancha juft sonlar bo‘lsa, natural sonlar ham aynan shuncha bo‘ladi. Kantor natural sonlar to‘plamining quvvatini ℵ₀ bilan belgilagan. Shunday qilib, |N|=ℵ₀ deb yozish mumkin.

1 va 2 sonlari orasida boshqa hech qanday butun son yo‘q. Ayni vaqtda, haqiqiy sonlar to‘plami cheksizdir. Barcha haqiqiy sonlar to‘plamining quvvati R ning qiymati N dan katta bo‘lishi mantiqan to‘g‘ridek ko‘rinadi. Kantor buning amalda ham aynan shunday ekanini isbotladi va R to‘plam quvvatini kontinuum deb nomlab, uni c harfi bilan belgiladi.

Eslatib o‘tamiz, sonlarning to‘plamlari ketma-ketligi quyidagicha ko‘rinishga ega:

N⊂Z⊂Q⊂R

Bunda Z bilan butun sonlar to‘plami, Q bilan ratsional sonlar to‘plami va R bilan haqiqiy sonlar to‘plami ifodalangan (natural sonlar to‘plami - N). Natural sonalr to‘plami butun sonlar to‘plamining ichki to‘plami, o‘z navbatida butun sonlar to‘plami ham ratsional sonalr to‘plamining ichki to‘plami, ratsional sonlar to‘plami esa, haqiqiy sonlar to‘plamining ichki to‘plami hisoblanadi. Agar ℵ₀<c bo‘lsa, ya'ni, natural sonlar to‘plami elementlarining soni, haqiqiy sonlar to‘plami elementlasining sonidan qat’iyan kichik bo‘lsa, quyidagicha savol kelib chiqadi: oraliq quvvatlar ham mavjudmi? Kantor bu oraliqda hech qanday son mavjud emas deb taxmin bildirgan. Boshqacha aytganda, R to‘plamning istalgan cheksiz ichki to‘plami A ning quvvati, yoki ℵ₀ ga, yoki c ga teng bo‘ladi. Kantorning aynan shu gipotezasi kontinuum-gipoteza nomini olgan.

Ushbu gipotezaning amaliy mohiyatiga va umuman uning haq ekanligiga shubha qiluvchi ko‘plab g‘arazli matematiklar mavjud bo‘lib, ularing e’tiroz va qoralovlariga qaramasdan, Gilbert ushbu gipotezani o‘z ro‘yxatiga 1-raqam bilan kiritdi. Chunki Gilbert o‘zi ushbu gipotezaning haqligiga ishonardi. U mazkur gipoteza dushmanlariga qarata bir safar shunday degan edi: «Qanchalik urinmangiz, bizni Kantor qurgan ko‘shkdan quvub chiqara olmaysiz!»

Umuman olganda to‘plamalar nazariyasining butun asosi, Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimi ustiga qurilgandir. Ular standart aksiomalar deyiladi. 1938 yilda buyuk matematik olim Kurt Gyodel kontinuum-gipotezani Sermelo-Frenkel tizimi doirasida inkor etishning iloji yo‘qligini isbotladi. 1966 yilda esa Pol Koen, kontinuum-gipotezani isbotlash uchun Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimining o‘zi kifoya qilishini isbotladi. Shu tarzda, kontinuum-gipotezani to‘plamlar nazariyasining standart aksiomalar tizimi doirasida inkor etishning ham, isbotlashning ham iloji yo‘q.

Buyuk nemis matematigi Kurt Gyodel rafiqasi Adel Gyodel bilan nikoh to‘yi kunida. Gyodelga olamshumul mashhurlik keltirgan ilmiy ishi, 1931-yilda e'lon qilingan to‘liqsizlik teoremasiga bag‘ishlangan maqolasi bo‘lgan edi. Shuningdek aynan Gyodel, Gilbert ro‘yxatidagi 1- va 2-raqamli masalalarni, ya'ni, kontinuum-gipotezani Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimi doirasida inkor etib bo‘lmasligini hamda arifmetika aksiomalarining o‘zaro zid emasligini, arifmetikaning o‘z uslublari orqali isbotlab bo‘lmasligini isbotlagan (ya'ni, ikkinchi masalani yechimga ega emasligini isbotlagan).

Arifmetika aksiomalarining o‘zaro zid emasligi.

Gilbert ro‘yxatida ikkinchi raqam bilan qayd etilgan masala arifmetika aksiomalarining o‘zaro zid emasligini isbotlashni taqozo etadi. Unga ko‘ra, arifmetika ham Yevklid geometriyasi singari, qator aksiomalar ustida barpo qilinadi deb qaraladi. Agar biz qandaydir biror teoremani isbotlashni istasak, biz aynan o‘sha aksiomalarga tayanuvchi mantiqiy mulohazalar zanjirini tuzib chiqamiz. Aksiomalar esa isbot talab qilmaydigan haqiqatlar deb qabul qilinadi. Gilbert shunday aksiomalar to‘plamida hech biri boshqasiga zid kelmasligini isbotlanishini istagan. Boshqacha aytganda, ushbu to‘plamdagi aksiomalarning istalgan biror sondagisini olib, ular orqali mantiqiy mulohazalar yuritish bilan, boshqa biror aksiomaga zid xulosaga kelish mumkin emas. Ushbu masalani ham, 1-raqamli masalaning yechimi muallifi buyu Kurt Gyodel hal etgan bo‘lib, u o‘zining to‘liqsizlik haqidagi ikkinchi teoremasi orqali rad etgan. Unga ko‘ra, arifmetikaning ziddiyatga ega emasligini, arifmetikaning o‘zining uslublari orqali isbotlashning imkoni yo‘q.

Fizikani aksiomalash mumkinmi?

Gilbert o‘z ma'ruzasining boshlang‘ich matnida oltinchi masalasi sifatida, «fizika fanining shunday sohalarini tadqiq qilish kerakki, ularda asosiy o‘rinni matematika tutsin; birinchi navbatda bunga ehtimollar nazariyasi va mexanika kiradi» deya e'tirof etgan.

Ehtimollar nazariyasi aksiomatikasini 1933-yilda buyuk rus matematigi Andrey Nikolayevich Kolmogorov aniqlagan. Fizikaning aksiomatizatsiyasi borasidagi masalani hal qilishda esa Jon fon Neyman va boshqa olimlar ham katta jonbozlik ko‘rsatishgan. Shunga qaramay, eng kuchli matematik olimlar tomonidan ham hozirda shunday fikrlar o‘rtaga tashlanmoqdaki, eksperimental natijalarning benihoya murakkabligi aksiomalar sistemasning beqarorlashuviga olib kelishi mumkin va shu vajga ko‘ra, mazkur masala borasida muayyan isbotga erishish g‘oyat mushkuldir.

Ushbu masala, Gilbert muammolari ichida hanuz o‘z isboini kutayotgan uchta masaladan birinchisidir (tartib bo‘yicha, 6-raqamli masala).

Muayyan sonlarning transsendentligining isboti, xususan 2^√2 uchun.

Gilbert muammolari ro‘yxatidagi yettinchi masalaning sharti aynan shunday yangraydi. Agar muayyan son butun koeffitsiyentli ko‘phadning ildizi (yechimi) bo‘lsa, u algebraik son deyiladi. Masalan 2/3 – algebraik sondir. Chunki u 3x=2 tenglamaning yechish orqali aniqlanishi mumkin. Har qanday ratsional son algebraik son bo‘ladi. Biroq, irratsional sonlar ichida ham algebraik, xususan √2 (u x²-2=0 tenglamaning yechimi hisoblanadi) kabi, hamda noalgebraik, xususan π va e kabi sonlar mavjud. Aynan shunday (π va e kabi) turkumdagi sonlarni transsendentlar deyiladi. Sonning transsendentligini isbotlash juda mushkul. Agar biz natijasi aynan biz ega bo‘lib turgan son bo‘luvchi butun koeffitsiyentli tenglamani topa olmasak, bu baribir amalda shunday tenglama yo‘q degan xulosani bermaydi. Gilbert quyidagicha masalani ko‘rib chiqishni taklif qilgan: agar α (α≠0, α≠1) algebraik son bo‘lsa, β esa irratsional son bo‘lsa, unda α^β ning transsendentligini isbotlash mumkinmi?

1934-yilda olimlar Aleksandr Gelfond, Teodor Shnayder va Karl Zigellar, β ning algebraik son bo‘lgan xususiy holat uchun Gilbert tasdig‘i o‘rinli ekanini ko‘rsatib berishdi. Ular 2^√2 va e^π ning transsendentligini isbotlay olishdi. Garchi 7-raqamli ushbu masalada umumiy hol uchun Gilbert sharti bajarilmagan bo‘lsa-da, lekin aynan ma’ruzadagi shart uchun masala hal etilgan deb qaraladi.

Diofant tenglamalarini yechish uchun algoritm mavjudligi haqidagi masala.

Tenglamalarni yechishning algoritmi - fikrlash qobiliyatini ishga solmasdan ham, tenglamani mexanik usul bilan yechish uchun tadbiq qilsa bo‘ladigan ketma-ketliklar usulidir. Boshqacha aytganda bu uslni masalan, kompyuterda amalga oshirsa bo‘ladi. Masalan, o‘rta maktablarda o‘rganiladigan kvadrat tenglamalar uchun yechim topishning algoritmlari mavjud. Xossatan, ax²+bx+c=0 tenglamaning yechimi

tenglama orqali aniqlanadi.

Diofant tenglamalari esa, shunday tenglamalarki, ularda butun koeffitsiyentli bitta yoki bir nechta nomalumlar qatnashadi ava tenglamaning yechimi ham butun son bo‘ladi. masalan, 1/2x+y=3 tenglama difant tenglama sanalmaydi, chunki undagi noma'lumning koeffitsiyenti bo‘lmish - butun son emas. 2x+3=6 tenglama esa, diofant tenglamadir, lekin bu tenglama yechimga ega emas. 2x-3y=–4 tenglama diofant tenglama sanaldi va uning yechimlari masalan x=1 va y=2 bo‘ladi.

Gilbert muammolari ro‘yxatida 10-raqami bilan keltirilgan masala, ya'ni, diofant tenglamalar algoritmini izlash muammosini 1970-yilda matematik Yuriy Matiyasevich tomonidan hal etilgan. Javob quyidagicha: Qidirilayotgan universial algoritm mavjud emas! Shuningdek, J.Jons ham 33 ta o‘zgaruvchili hadlardan iborat 18 xil tenglamalar misolida (ang katta darajali tenglamada 560-chi daraja qo‘llangan) diofant tenglamalarni yechish uchun universial algoritm mavjud emasligini isbotlagan.

Difant tenglamalarning to‘liq tasnifini kimdir tuzib chiqa olishi haqiqatdan juda-juda yiroq bo‘lgan narsadir. Zero bugungi kun matematikasi tadqiqotarining barcha jabhalarini bitta inson ongining o‘zi bilan qamrab olishning imkoni ham yo‘q.

18-raqamli masala.

Muayyan geometrik shakllardan iborat bir xil plitkalar bilan tekislikni to‘ldirish amaliyotini, matematikada monand qilish deyiladi. Monand qilishda, figuralar orasida ochiq oraliqlar qolmasligi, shakllarning o‘zi esa bir-birining ustiga minib ketmasligi kerak. «Tekislikni bir xil shaklar bilan qanday turli xil usullarda to‘ldirish mumkin?» - degan savolga javob tayin: 17 xil usul bilan to‘ldirish mumkin.

Gilbert ro‘yxatidagi 18-raqamli masala ham, tekislikdagi shakllarni monand qilish masalasiga o‘xshash bo‘lib, faqat bunda jarayon uch o‘lchovli fazoda va geometrik jismlar orqali bajarilishi lozim. Ushbu masalaning Gilbert bayon qilgna sharitda olmon astronomi Iogann Kepler tomonidan 1611-yilda shakllantirilgan Kepler gipotezasi qayd etib o‘tiladi. Ushbu gipotezaga muvofiq, sferalarni joylashdagi maksimal zichlik chegaraviy-markazlashgan usul yordamida piramidal terish orqali erishiladi. (Shunga o‘xshash tarzda, to‘p yadrolari to‘rtburchakli piramida tarzida taxlanadi). Shunday taxlamning zichligi taxminan 74% gacha yetadi.

1998-yilda Tomas Xeyls Kepler gipotezasining yechimini topganligi haqida e'lon qilgan edi. uning ilmiy ishi «Matematika solnomalari» jurnalida e'lon qilingan. Xeyls isbotlashlarida turli xil taxlamlarning matematik uslublari bilan bayon etilgan 150 ta o‘zgaruvchili tenglamalarni keltiradi. Unga ko‘ra, bir xil o‘lcham va shakldagi sferalarni taxlashning amalda imkonli bo‘lgan 5000 xil usuli bor ekan. Mazkur nufuzlik ilmiy jurnal tomonidan tanlab olingan 12 ta eng kuchli matematik olimlar Xeyls isbotlashlarini tekshirib ko‘rishdi va natijaga 99% qoniqish hosil qilganliklarini e'tirof etishdi. Xeyls isbotlashlarini kompyuter dasturi orqali amalga oshirgan edi. Buning uchun u juda katta hajmdagi dastur tuzishiga to‘g‘ri kelgan. Biroq matematiklar uing 3 Gb hajmdagi dasturiy kodni tekshirih chiqish esa amalda imkosiz deb qarashdi. Boz ustiga, Xeyls taqdim etgan uslub, mazkur masalaning barcha jabhalarini qamrab olmaydi va shu sababli u to‘liq yechimni topgan deb qaralishi mumkin emas. Ustiga ustak, jahoning nufuzli matematik olimlari ichida shunday qarash mavjudki, ular matematik masalalarning kompyuter orqali keltirilgan isbotlarini qabul qilishmaydi. Buning izohi uchun ular ikkita asosiy sababni ko‘rsatishadi: birinchidan, bunday isbotlashlarni to‘liq tekshirib tasdiqlashning imkoni yo‘q, chunki dasturiy algoritmning ayrim bosqichlarida bajariladigan amallar shu darajada murakkab bo‘ladi-ki, ularni to‘g‘riligini tekshirishning o‘zini ham imkoni yo‘q, qolaversa, ikkinchidan, bunday isbotlashlarda ham dasturiy tarafdan va ham texnik tarafdan xatolik kelib chiqishi ehtimoli katta.

Ushbu masalaning hal etilishi, ilm-fanda fundamental jihatdan g‘oyat muhim bo‘lgan ko‘plab masalalarda yangi bosqichga ko‘tarilish imkonini berishi kutilayotir. Masalan, kimyoviy birikmalardagi atomlarning joylashtirishda shunday matematik uslublarga tayanib ish ko‘rish mumkin bo‘lishi ehtimol. Shuningdek, makur masalaning hal etilishida, axborot texnologiyalari sohasi ham katta naf ko‘radi. Ya'ni, axborotni kompakt-disklarda yoki, vinchesterlarda joylashtirishning eng samarali va xavfsiz usullarini ishlab chiqish, ushbu disklarning asosini tashkil qiluvchi kimyoviy elementlar atomlarini eng samarali va maksimal xavfsiz joylashtira olish yo‘li bilan hal etilishi mumkin. Bu esa, axborotni atom-molekulyar miqyosda saqlash imkoni demakdir. Kvant kompyuterlari sari qo‘yilayotgan qadamlar ichida, bu usulning amalda joriy etilishi eng katta ilg‘or qadamlardan biri bo‘lishi ehtimol...

Masalani yechimi uchun mukofot.

Gilbert masalalari ichida sakkizinchisi Goldbax gipotezasi va Riman gipotezasi deb nomlanuvchi sohalarga taaluqlidir. Unda Gilbert tub sonlar taqsimoti bilan bog‘liq masalalarni yechimi uchun matematiklar diqqatini jalb qilishni maqsad qilgan. Aynan ushbu masala ko‘p yillardan buyon bir necha avlod matematiklariga tinchlik bermay kelayotir.

Goldbaxning 7-iyun 1742-yilda Eylerga yo‘llagan maktubida birinchi marta bayon qilingan mazkur gipoteza quyidagicha bayon qilingan: 2 dan katta bo‘lgan har qanday sonni, uchta tub son yig‘indisi tarzida yozish mumkin. (Goldbax 4=1+2+3 ekanidan 1 ni ham tub son deb qaragan). Eyler tomonidan shakllantirilgan yanada aniqroq va murakkabroq ta'rifga ko‘ra ushbu gipoteza quyidagicha yangraydi: –4 ga teng va undan katta bo‘lgan har qanday musbat butun sonni ikkita tub sonlar yig‘indisi tarzida ifodalash mumkin. 1939-yilda matematik Lev Shnirelman, istalgan juft sonni 300000 tadan ko‘p bo‘lmagan tub sonlarning yig‘indisi orqali ifodalash mumkinligini isbotladi. Bu isbot, gipoteza talab qilayotgan ikkita tub sonlar yig‘indisidan ancha katta bo‘lib, shunga qaramay, mazkur natijani hisobdan chiqarib tashlash o‘rinli emas. Bu gipoteza ham hamon o‘z yechimini kutayotgan masalalar sirasiga kiradi. chunki hanuzgacha hech kim uning uchun qat'iy isbot keltira olmayotir.

Goldbaxning 1742-yilda Eylerga yozgan maktubi. Unda Goldbax o‘zining o‘sha mashhur gpoteasini bayon qilgan. o‘sha vaqtda Goldbax Sankt-Peterburg Fanlar Akademiyasida, Eyler esa Berlin Fanalar Akademiyasida ishlar edi.

Goldbax gipotezasida farqli o‘laroq, Roman gipotezasining sharti juda murakkabdir. Rimaning mashhur dzeta-funksiyasi quyidagicha ko‘rinishga ega:

U istalgan s –1 kompleks son uchun aniqlangan. Dzeta-funksiyani Rimanning o‘zo 1859-yilda aniqlagan. Bu funksiya s ning ba'zi qiymatlarida nolga intiladi. Bular esa funksiyaning nollari deyiladi. Funksiyaning oshkora nollari quyidagilardir: s=–2, s=–4, s=–6, va ho kazo. Riman gipotezasida shunday deyiladi: «Riman funksiyasining har qanday oshkora nolining haqiqiy qismiga teng». Aynan shu narsani hanuzgacha hech kim isbot etib berolganicha yo‘q.

AQSHning Massachustets shtati Kembrij shahrida joylashgan Kley matematika instituti (CMI) - xususiy notijirotat muassasasi bo‘lib, Bostonlik tadbirkor va multimillioner Lendon Kley tarafidan tashkil qilingan. 2000-yilning 25-mayida mazkur institut tomonidan «Ming yillik masalalari» e'lon qilingan edi. Bu masalalarni e'lon qilinishi ham, mohiyatan Gilbert muammolarini eslatadi. Kley matematika institutining «Ming yillik masalalari» Gilbert masalalaridan ko‘ra kamroq - yettita murakkab matematika muammolarini o‘z ichiga olgan bo‘lib, ularning har birining yechimi, yoki isboti uchun mazkur institut fondi bir million AQSH dollari miqdorida mukofot va'da qilgan. Institut matematiklarining fikriga ko‘ra, mazkur masalalarning yechimi XXI-asr matematiklari uchun ustivor yo‘malish bo‘log‘i kerak emsih. Kley matematika institutining «Ming yillik masalalari» ro‘yxatida, Gilbert ro‘yxatidagi aynan o‘sha masala, ya'ni, Riman gipotezasining isboti ham o‘rin olgan.

Ro‘yxatdagi so‘nggi masala.

2000-yilda olmon tarixchisi Rydiger Tile kutilmagan bir tarixiy qaydni uchratib qoldi. Ma'lum bo‘lishicha, Gilbert masalalari 23 ta emas, balki 24 ta bo‘lgan ekan. Bu haqida o‘z vaqtida Gilbert loyihasida ishtirok etgan yetuk matematiklardan hech kimning hech qanday xabari bo‘lmagan. Tile 24-masalani Gilbertning qo‘lyozma qaydalri ichidan topgan bo‘lib, u umumiy matematik usullarning soddalik darajasi borasidagi kriteriylarni tadqiq qilishni ko‘zda tutgan ekan. 24-masala mohiyat shundan iboratki, muayyan matematik isbotlashlar uchun, matematik isbotlashning soddaligini aniqlash imkonini beruvchi, ya'ni, keltirib chiqarilgan isbotning joriy matematika masala uchun eng maqbuli ekanini tasdiqlab beruvchi nazariya barpo qilishni nazarda tutgan ekan. Tilening qayd etishicha, Gilbert aftidan mazkur qaydlarni shoshilishda yozgan bo‘lsa kerak. Chunki undagi ayrim satrlarni o‘qishni va tushunishni umuman iloji yo‘q ekan. Mazkur qaydlardan anglab olish mumkin bo‘lgan yozuvlarga ko‘ra, 24-masalada Gilbert matematikka isbot talab qilinayotgan masalani isbotlashning eng sodda usulini ko‘rsatib beriuvchi teoremani keltirib chiqarishni muddao qilgan bo‘lishi mumkin. Gilbertga ko‘ra, matematik mutaxassis oldida turgan har qanday masalani isbotlash uchun yo‘llar ichidan eng oson yo‘lni topa bilishi kerak; shuningdek u mazkur yo‘llar oraliq tafovutlarini ham o‘rganib, ularning har biridan eng yaxshi jihatlarini o‘zlashtirib, umumlashitirish lozim ekan.

Gilbertning 24-muammosi masalani hal etish usulini izlab topishni emas, masala uchun topilgan yechim, bo‘lishi mumkin bo‘lgan barcha yechimlar orasidan eng yaxshisi va munosbi ekanini aniqlashga qaratilgandir. Bo‘lishi mumkin bo‘lgan yechimlar orasidan eng yaxshisi qanday bo‘ladi? An'anaviy matematika maktabiga taaluqli bo‘lgan matematik mutaxassi «Eng chiroylisi!» - deb javob beradi.

Teorema yoki gipotezaning isbotida, yoki, masalaning yechimida xatoliklar bo‘lishi mumkin emas. Matematik jamiyatda isbotning chiroyliligi alohida qadrga ega bo‘ladi. Bu huddiki qo‘shilgan qiymat solig‘i singari bo‘lib, o‘zi topgan yechim yoki isbotni chiroyli bayon qila bilish, har qanday matematik uchun eng muhim vazifalardan sanaladi. Bu jumlalardagi «chiroyli» so‘zi qandaydir bir estetik zavq beruvchi go‘zalliknigina ifodalab qolmay, matematika slengida isbot va yechimni izlashdagi qo‘llangan usullarning va mantiqiy mulohazalarning izchilligi, ifodalarning maksimal soddalashtirilishi va shu kabi ko‘plab professional uslublar majmuini nazarda tutadi. Bunday jihatlarni esa matematiklar juda-juda qadrlaydilar va o‘zini hurmat qilgan har qanday matematik mutaxassis, o‘z faoliyatida avvalo ushbu qadriyatlarga suyanadi. Aynan shu jihat matematikaning nazariy ilm-fan sifatidagi qimmatini ham ko‘p jihatdan belgilab beradi.

So‘nggi yillar davomida matematika borgan sari juda tor soha mutaxassislari o‘rganuvchu murakkab ilmga aylanib bormoqda. U matematik mutaxassis bo‘lmagan oddiy odam tushinishi qiyin bo‘lgan beqiyos murakkablik kasb eta boshladi. Zamona matematikasi esa yanada va yanada murakkab uslublarga murojaat etishni taqozo etmoqda. Natijada hozirda hech kim zamonaviy matematikaning barcha sohalarini bir o‘zi to‘liq egallab olishi mumkin bo‘lmagan miqyosga yetib keldik.

Gilbert o‘sha mashhur 23 ta masalani e'lon qilishda, ma'lum ma'noda matematikani qndaydir bir norasmiy umumiy tiziginga solishni, oddiy odam uchun, o‘zining ta'biri bilan aytganda, birinchi duch kelgan uchun tushunrali bo‘ladigan darajada jo‘n bo‘ladigan ko‘rinishga keltirishni maqsad qilgan edi. U butun boshli matematika ilmini, oldinga ko‘ndalang qo‘yilgan har qanday murakkablikdagi masalani hal etish imkonini beradigan atiga bir necha fundamental teorema va qonun-qoidalar miqyosigacha soddalashtirishni ko‘zlagan bo‘lsa ajabmas. Lekin amalda Gilbertning maqsadi butunlay teskari effekt berdi: matematikaning keyingi taraqqiyoti aksincha yo‘nalishda, ya'ni, tobor murakkablashuv tomonga burilib ketdi (bundan esa Gilbert baribir faqat xursand bo‘lgan bo‘lardi, chunki u birinchi navbatda matematika ilmining taraqqiyotini yoqlovchi olim bo‘lgan). Nima sababdan Gilbert 24-masalani o‘zning mashhur ma'ruzasidagi ro‘yxatga kiritmadi? Ehtimol u so‘nggi damda qandaydir bir o‘ta muhim narsani tushunib qolgandir va uni bayon qilib qo‘yish uchun unda shunchaki vaqt yetmagandir. Balki u matematikaning soddalshuvi ehtimoliga qandaydir pessimistik qarash bilan yondoshgandir. Nima bo‘lganda ham, Gilbert ushbu masalani muhim deb hisoblagani va XX asr matematiklari oldiga yechish uchun tahlamoqchi bo‘lgan rost...

Gilbert masalalari borasida qiziq faktlar:

- Gilbert masalalaridan hech bo‘lmaganda bittasini yechgan matematiklardan iborat faxriy klub tuzilgan. Ushbu guruhga Kurt Gyodeldan tashqari shuningdek birinchi kattalikdagi yulduz matematiklarda German Veyl ham kirgan.

- 1929-yilda atiga 29 yoshda bo‘lgan Emil Artin (rasmda) 9- va 17-raqmli masalalarni yechib, Gilbert masalalarini hal etganlar faxry klubida eng yoqori o‘ringa, ya'ni, Gilbert taxtiga chiqqan. U shuningdek algebra va topologiya bo‘yicha qator muhim ilmiy-amaliy ishlarni muallifi bo‘lgan.

- 17-masaladagi kvadratlar yig‘indisini hisoblash usulini Georg Krayzel taklif qilgan bo‘lib, u 2^{2^100} qadamdan iborat. Lekin Emil Artin bu usuldan foydalanmagan.

text-align: justify;